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athe üben

Dezimalbrüche

Dezimalbrüche oder auch Dezimalzahlen sind Zahlen mit einem Komma und Nachkommastellen. Der Wert einer Ziffer in einer Dezimalzahl wird durch die Postion bestimmt. Während die Ziffern auf der linken Seite des Kommas der ganzzahlige Anteil mit Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, usw. beschreiben, stehen auf der rechten Seite die zehntel, hunderstel, tausendstel usw. Die Zahl 123,456 kann man wie folgt schreiben:

1
·
100
+
2
·
10
+
3
·
1
+
4
·
1
10
+
5
·
1
100
+
6
·
1
1000

Mit Zehnerpotenzen kann man diese Zahl so aufschreiben:

1
·
10
2
+
2
·
10
1
+
3
·
10
0
+
4
·
10
−
1
+
5
·
10
−
2
+
6
·
10
−
3

Der negative Exponent beschreibt das Reziproke des Exponenten mit positiven Wert. So ist z.B.

10
−
3
=
1
1000

Wie man den ganzzahligen Anteil eines unechten Bruchs abtrennt ist in der Einleitung zur Bruchrechnung beschrieben.

Den echten Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist, kann man wie folgt in die Nachkommastellen umrechnen. Man multipilziert den Zähler mit 10 und teilt ihn anschließend durch den Nenner. Der ganze Anteil der Division ist die Nachkommastelle und der Rest der Division ist der neue Zähler.

Beispiel 1

Betrachten wir das Beispiel
1
4
. Man multipliziert den Zähler mit 10 und erhält:
1
·
10
4
=
10
4
. Jetzt führt man die Division aus:
10
4
=
2
 
Rest
 
2
. Der ganze Anteil der Division ist 2 und somit die erste Nachkommastelle. Der Rest 2 wird der neue Zähler. Man erhält als neuen Bruch
2
4
. Jetzt wiederholt man die Schritte, um die nächste Nachkommastelle zu brechnen. Man multipliziert den Zähler mit 10 und führt die Division aus:
2
·
10
4
=
20
4
=
5
 
Rest
 
0
. Wenn der Rest der Division gleich 0 ist, so sind alle Nachkommastellen berechnet. Die Lösung der Aufgabe lautet somit:
1
4
=
0,25
. Da es sich bei
1
4
um einen echten Bruch handelt, schreiben wir vor das Komma eine 0. Bei einem gemischten Bruch steht vor dem Komma der ganzzahlige Anteil des Bruchs.

Beispiel 2

Im 1. Beispiel ist der Rest der Division nach dem zweiten Schritt 0 geworden. Es gibt auch Brüche, bei denen der Rest niemals 0 wird. Betrachten wir das Beispiel
1
3
. Wir führen den ersten Schritt aus:
1
·
10
3
=
10
3
=
3
 
Rest
 
1
. Die erste Nachkommastelle ist 3 und der neue Zähler ist 1. Somit lautet der neue Bruch
1
3
. Das ist genau der gleiche Bruch, für den wir die Berechnung gerde ausgeführt haben. Man erhält also immer wieder eine 3 als Nachkommastelle. Wenn man den Bruch als Dezimalzahl aufschreibt, so erhält man
1
3
=
0,3333333...
. Um das Ergebnis exakt aufzuschreiben, müßte man unendlich viele Ziffern 3 hintereinander schreiben. Diese Wiederholung einer Ziffer in einem Dezimalbruch bezeichnet man als Periode, da sich die Nachkommastellen periodisch wiederholen. Um diese Wiederholung mathematisch aufzuschreiben, fügt man einen waagerechten Strich über den Nachkommastellen, die sich periodisch wiederholen, hinzu. Das sieht dann so aus:
0,
3
.

Beispiel 3

Im 2. Beispiel haben wir einen Dezimalbruch als Ergebnis erhalten, bei dem sich eine Ziffer periodisch wiederholt. Es gibt auch Dezimalbrüche, bei denen sich eine Folge von Ziffern wiederholt. Betrachten wir
1
7
. Hier sind die Schritte zur Berechnung der Nachkommastellen:
1
·
10
7
=
10
7
=
1
 
Rest
 
3
3
·
10
7
=
30
7
=
4
 
Rest
 
2
2
·
10
7
=
20
7
=
2
 
Rest
 
6
6
·
10
7
=
60
7
=
8
 
Rest
 
4
4
·
10
7
=
40
7
=
5
 
Rest
 
5
5
·
10
7
=
50
7
=
7
 
Rest
 
1
Der nächste Bruch lautet
1
7
. Das ist der Bruch mit dem wir angefangen haben. Damit beginnt die Wiederholung der Ziffernfolge. Die Ziffernfolge der Nachkommastellen sind die ganzzahligen Ergebnisse der Divisionen, also "142857". Das Ergebnis lautet:
1
7
 = 
0,
142857
.