Brüche addieren
Bevor man zwei Brüche addieren kann, muß man beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Der gemeinsame Nenner wird auch als Hauptnenner
bezeichnet. Durch erweitern der Brüche, kann man den Nenner verändern, ohne daß sich der Wert des Bruchs ändert. Jetzt bleibt noch die
Frage, mit welchen Zahlen wir die Brüche erweitern müssen, damit wir auf den gleichen Nenner kommen. Wir wollen folgende Aufgabe betrachten:
Berechnung des Hauptnenners mit dem kgV
Den Hauptnenner berechnet man mit dem
kgV aus den beiden Nennern
und
.
Den ersten Bruch erweiter man mit dem Faktor
und den zweiten mit
.
Für die Summe ergibt sich:
Wenn beide Brüche den gleichen Nenner haben, kann man die beiden Zähler addieren.
Schauen wir uns diese Rechnung an einem Beispiel an. Gegeben sei die Aufgabe
.
Das kgV von 4 und 6 ist 12. Den ersten Bruch
erweitern wir mit dem Faktor
und den zweiten Bruch
erweitern wir mit dem Faktor
. Es ergibt sich:
Die Multiplikationen führen wir jetzt aus und erhalten:
Da die beiden Brüche jetzt den gleichen Nenner haben und somit den gleichen Anteil eines Ganzen beschreiben, kann man die
Zähler addieren und erhält:
Zum Schluß prüfen wir noch, ob der neue Bruch durch umformen in ganze Anteile und kürzen vereinfacht werden kann.
Das ist in diesem Beispiel nicht der Fall. Damit haben wir die Lösung:
Erweitern mit den Nennern
Die Ermittlung des kgVs ist zwar der allgemeine Ansatz, allerdings mit einem gewissen Rechenaufwand verbunden. Man kann auch einen
gemeinsamen Nenner finden, wenn man den 1. Bruch mit dem Nenner des 2. Bruchs erweitert und umgekehrt den zweiten Bruch mit dem
Nenner des ersten Bruchs. Allgemein erhält man dann:
Für unser Beispiel
erhalten wir:
Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich:
Das Zwischenergebnis
kann mit 2 gekürzt werden und wir erhalten auch auf diesem Rechenweg das
gleiche Ergebnis: